Pengertian dan nilai suku banyak (Polinomial)

Polinomial adalah persamaan suku banyak yang memiliki pangkat yang positive dan memiliki pangkat lebih dari satu.  Untuk mendapatkan nilai dari suatu polinomial dapat menggunakan 2 cara yaitu: 

1) Teori Subtitusi

2) Teori Horner

   Contoh soal :

1) Teori Subtitusi.            

     f (x) = 5x³+6x²-9x+4                  x=1  

             = 5(1)³+6(1)²-9(1)+4

             = 5+6-9+4

             = 6

2) Teori Horner

   f (x) = x³ - 7x² + 4x + 50

Maka bentuk hornernya adalah seperti di bawah ini :

Sehingga menghasilkan nilai polinomial 26

 Operasi penjumlahan dan pengurangan Polinomial 

   Operasi penjumlahan dan pengurangan dalam polinomial memiliki prinsip yang sama yaitu menjumlahkan atau mengurangi suku-suku sejenis , yaitu suku-suku dengan pamgkat peubah sama 

  Contoh soal : 

f(x) = 9x³ + 7x² - 3x + 2

g(x) = 6x² - 4x + 8

        Tentukan f(x) + g(x)

= (9x³ +7x² -3x +2) + (6x² - 4x +8)

= 9x³ + 13x² - 7x + 10

         Tentukan f(x) - g(x)

= (9x³ +7x² - 3x+2) - (6x² - 4x +8)

= 9x³ + x² + x - 6

 Operasi perkalian Polinomial

     Operasi perkalian pada polinomial menggunakan sifat distributif , yaitu (a+b) (c+d) = ac+ad+bc+bd .

  Contoh soal

f(x) = 3x² + x - 4

g(x) = 5x - 1

           Tentukan f(x) . g(x)

= (3x² + x - 4) . (5x -1)

= (15x³ - 3x² + 5x² -x -20x +4)

= 15x³ +2x² -21x +4

Algoritma pembagian Polinomial 

f(x) = p(x).h(x)+s(x)

Dimana f(x) = Fungsi Polinomial

                p(x) = Pembagi Polinomial

                h(x) = Hasil bagi Polinomial

                s(x) = Sisa bagi Polinomial

   Pada algoritma pembagian ini menggunakan 2 cara , yaitu dengan :

1) Cara Pembagian Bersusun

2) Teori Horner

Contoh soal
1) Menggunakan pembagian bersusun
f(x) =  x³ - 7x² + 4x + 50     : x-3

Maka algoritma pembagian nya adalah
f(x) = (x - 3) . (x² - 4x - 8) + 26

2) Menggunakan teorema Horner

Teorema sisa 
    Teorema sisa 1
 Pernyataan yang harus di buktikan jika suku banyak f(x) dibagi x-k , maka akan bersisa f(k) .
Contoh soal :
f(x) = 7x² - 6x + 9     x=2

       = 7 (2)² - 6(2) + 9 

       = 28 -12 +9 

       = 25 

Teorema sisa 2
Jika suku banyak f(x) dibagi ax-b , maka akan bersisa f .
  Contoh soal :
f(x) = 3x² + x + 5    ÷ 2x-1

       = ax-b = 0
       = 2x-1 = 0
       = 2x = 1
       = x = ½

f(x) = 3x² + x + 5
f (½) = 3(½)² + ½ + 5
           = 3 (¼) + 11/2
           = ¾ + 11/2
           = 25/4

Teorema sisa 3 
Jika suku banyak f(x) dibagi (x-a) (x-b) , maka sisanya adalah p(x)+q dimana f(a) = p(a) + q dan f(b) = p(b) + q
  Contoh soal :
f(x) = x³+ 4x + 2 ÷ x² - 5x + 6

    x² - 5x + 6
    (x-2) (x-3)
    a = 2  b = 3
f(x) = x³ + 4x + 2
f (a) = a³ + 4a + 2 
f(2) = 2³ + 4 (2) + 2
       = 8 + 8 + 2
f (2) = 18


f(b) = b³+ 4b + 2
f(3) = 3³ + 4(3) + 2
       = 27 + 12 + 2
        = 41

f(a) = p(a) + q
18 = p(18) + q
18p + q = 18

f(b) = p(b) + q
41 = p(41) + q
41p + q = 41

18p + q = 18
41p + q = 41 -
-23p      = -23
            p = 1

18p + q = 18
18 (1) + q = 18
q = 18-18
q = 0

Jadi , sisa pembagiannya adalah px + q

Teorema faktor 
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai 0 maka itulah faktornya .
Contoh soal :
f (x) = x³ - 3x + 2

Faktor dari polinomial tersebut adalah {-2,1}
Sehingga : f(x) = p(x) . h(x) + s(x) = x³ - 3 + 2

Mohon maaf apabila banyak kekurangan. Terima kasih 
Semoga bermanfaat :)